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由f(x)=arcsinx幂级数展开收敛域端点处情况的一些思考

前言

在计算如下两个幂级数展开式时,在收敛域端点处的敛散性存在一些疑问,答案中提示用比值审敛法来判断,经过尝试,无法判断。因此查阅了一些相关资料,了解了双阶乘与阶乘的一些性质,学习了Wallis公式与Stirling公式的应用,计算出这两个幂级数展开式在收敛域端点是收敛的。

(1) f ( x ) = a r c s i n x f(x)=arcsinx f(x)=arcsinx 展开成x的幂级数 (2) f ( x ) = l n ( x + ( 1 + x 2 ) f(x)=ln(x+sqrt{(1+x^2}) f(x)=ln(x+(1+x2 ) 展开成x的幂级数

由于(2)的x的幂级数展开式的绝对值就是(1)的x的幂级数展开式,证明(1)在收敛域内收敛,可以推出(2)在收敛域内绝对收敛,所以本文只需对(1)进行计算。


幂级数展开的基本步骤

    对于 f ( x ) = a r c s i n x f(x)=arcsinx f(x)=arcsinx无法通过拆项或者配凑出常见的8个麦克劳林级数,因为幂级数展开式逐项可积可导的性质,考虑到先求导较为简单,采用先导后积的方法计算,此过程较为常规。
    根据答案提示使用比值审敛法计算比值为1,并不能判断1和-1处的敛散性。

双阶乘与阶乘的互相转化

因为比值审敛法法无法判断端点处敛散性,所以尝试往P级数上靠。了解到可以用Stirling公式来拟合n!,为了使用Stirling公式,需要将双阶乘与阶乘进行转化,公式如下: ( 2 n ) ! ! = ∏ k = 1 n ( 2 k ) = 2 n n ! (1) (2n)!!=prod_{k=1}^n(2k)=2^nn! ag1 (2n)!!=k=1∏n(2k)=2nn!(1) ( 2 n − 1 ) ! ! = ( 2 n ) ! ( 2 n ) ! ! = ( 2 n ) ! ( 2 n n ! ) (2) (2n-1)!!=frac{(2n)!}{(2n)!!}=frac{(2n)!}{(2^nn!)} ag2 (2n−1)!!=(2n)!!(2n)!=(2nn!)(2n)!(2) (1)可以理解为,偶数2n的双阶乘中,每个数都是偶数,所以将每个数都缩小一半,形成了n!再将缩小的 1 2 frac{1}{2} 21还上,形成了 2 n 2^n 2n (2)可以理解为,奇数的双阶乘中,每个数都是奇数,在(2n)!中,去除了所有偶数,剩下的就是(2n-1)!!

斯特林公式(Stirling’s approximation)

n的阶乘在n趋向正无穷时,可以用斯特林公式来进行等价,可以将n!与n的幂函数建立联系,公式为: lim ⁡ n → ∞ n ! = 2 π n ( n e ) n lim_{n o infty} n!=sqrt{2pi n}(frac{n}{e})^n n→∞limn!=2πn (en)n

与p级数比较, 3 2 frac{3}{2} 23>1,所以该级数在x=1处收敛,同理在x=-1处绝对收敛。

Wallis公式的推论

由双阶乘的比值,联想到直接Wallis公式的推论,而不需要进行双阶乘与阶乘的转化。 lim ⁡ n → ∞ ( 2 n + 1 ) ! ! 2 n ! ! = 2 π n (1) lim_{n o infty} frac{(2n+1)!!}{2n!!}= {frac{2}{sqrt{pi}}}sqrt{n} ag1 n→∞lim2n!!(2n+1)!!=π 2n (1) lim ⁡ n → ∞ ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! = n π (2) lim_{n o infty} frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}= {sqrt{npi}} ag2 n→∞lim(2n−1)!!(2n)!!=nπ (2)

结果与使用Stirling公式完全一样。


总结

通过两种方法的验证,最后得出结论: a r c s i n x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ( 2 n + 1 ) x ∈ [ − 1 , 1 ] arcsinx=sum_{n=0}^inftyfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)} quad xin[-1,1] arcsinx=n=0∑∞(2n)!!(2n+1)(2n−1)!!x∈[−1,1]

第一次使用LaTeX打数学公式,最后放一下Cmd Markdown公式指导手册,方便以后查阅。

https://www.zybuluo.com/codeep/note/163962#3%E5%A6%82%E4%BD%95%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%8B%AC%E5%8F%B7%E5%92%8C%E5%88%86%E9%9A%94%E7%AC%A6

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